Question

9．如图，已知平面DBC与直线PA均垂直于三角形ABC所在平面，
（1）求证：PA∥平面DBC；
（2）若AD⊥BC，求证：平面DBC⊥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）过点D作DO⊥BC，交BC于O，则DO⊥平面ABC，从而PA∥DO，由此能证明PA∥平面DBC．
（2）推导出BC⊥PA，AD⊥BC，从而BC⊥平面PAD，由此能证明平面DBC⊥平面PAD．

解答 证明：（1）在△BDC中，过点D作DO⊥BC，交BC于O，
∵平面DBC与直线PA均垂直于三角形ABC所在平面，
∴DO⊥平面ABC，∴PA∥DO，
∵PA?平面DBC，DO?平面DBC，
∴PA∥平面DBC．
解：（2）∵直线PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥PA，
∵AD⊥BC，AD∩PA=A，
∴BC⊥平面PAD，
∵BC?平面DBC，
∴平面DBC⊥平面PAD．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．