Question

2．在直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ²-8ρsinθ+15=0．
（Ⅰ）若曲线C₁与C₂有公共点，求r的取值范围；
（Ⅱ）若r=1，过曲线上C₁任意一点P作曲线C₂的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁消去参数r，求出曲线C₁的直角坐标方程，由曲线C₂的极坐标方程求出曲线C₂的直角坐标方程，若C₁与C₂有公共点，则r-1≤|C₁C₂|≤r+1，由此能求出r的取值范围．
（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|²=|PC₂|²-|C₂Q|²=|PC₂|²-1，得|PQ|²=cos²α+（sinα-4）²-1=16-8sinα≤16+8=24，由此能求出|PQ|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ为参数，r为大于零的常数），
∴消去参数r，得曲线C₁的直角坐标方程为x²+y²=r²（r＞0），
∵曲线C₂的极坐标方程为ρ²-8ρsinθ+15=0，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y-4）²=1．
若C₁与C₂有公共点，则r-1≤$\sqrt{（0-0）^{2}+（4-0）^{2}}$≤r+1，
解得3≤r≤5，故r的取值范围是[3，5]．
（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|²=|PC₂|²-|C₂Q|²=|PC₂|²-1，
得|PQ|²=cos²α+（sinα-4）²-1=16-8sinα≤16+8=24，
当且仅当sinα=-1时取最大值，故|PQ|的最大值为2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、两圆相交、两点间距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．