Question

5．如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且AB=2，若线段DE上存在点P使得GP⊥BP，则边CG长度的最小值为  （　　）

• A． 4
• B． $4\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 建立坐标系，设CG=a，P（x，0，$\frac{ax}{2}$），根据GP⊥BP列方程得出a²关于x的函数，根据x的范围求出a²的最小值，从而得出a的最小值．

解答 解：以DA，DC，DF为坐标轴建立空间坐标系，如图所示：
设CG=a，P（x，0，z），则$\frac{x}{2}=\frac{z}{a}$，即z=$\frac{ax}{2}$．
又B（2，2，0），G（0，2，a），
∴$\overrightarrow{PB}$=（2-x，2，-$\frac{ax}{2}$），$\overrightarrow{PG}$=（-x，2，a（1-$\frac{x}{2}$）），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PG}$=（x-2）x+4+$\frac{{a}^{2}x（x-2）}{4}$=0，
显然x≠0且x≠2，
∴a²=$\frac{16}{2x-{x}^{2}}-4$，
∵x∈（0，2），∴2x-x²∈（0，1]，
∴当2x-x²=1时，a²取得最小值12，
∴a的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．