Question

7．已知函数f（x）=x²+3x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点$（n，{S_n}）（n∈{N^*}）$均在函数y=f（x） 的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}=\frac{a_n}{2^n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=S_n-S_n-1计算a_n，再验证n=1时是否成立即可；
（2）利用错位相减法求和．

解答 解：（1）∵点（n，s_n）在f（x）的图象上，${S_n}={n^2}+3n$，
当n=1时，a₁=S₁=4，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={n^2}+3n-{（n-1）^2}-3（n-1）$=2n+2，
显然n=1时，上式也成立，
∴a_n=2n+2，
（2）${b_n}=\frac{a_n}{2^n}=\frac{n+1}{{{2^{n-1}}}}=（n+1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∵${T_n}=2+3×{（\frac{1}{2}）^1}+4×{（\frac{1}{2}）^2}+…+（n+1）×{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=2×\frac{1}{2}+3×{（\frac{1}{2}）^2}+…+（n+1）×{（\frac{1}{2}）^n}$，
∴$\frac{1}{2}{T_n}=2+\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-（n+1）×{（\frac{1}{2}）^n}$=2+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，错位相减法求和，属于中档题．