Question

13．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点$P（1，\sqrt{3}）$和M（2，0），直线l与曲线C：y²=4x交于A，B两点．
（1）写出直线l的参数方程；
（2）求$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$．

Answer 1

分析 （1）由题意求得直线PM的斜率，求得直线l的倾斜角，即可求得参数方程；
（2）将参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理及参数的几何意义，即可求得$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$．

解答 解：（1）由于直线经过$P（1，\sqrt{3}）$和M（2，0），直线PM的斜率k=$\frac{\sqrt{3}-0}{1-2}$=-$\sqrt{3}$，
直线l的倾斜角α=$\frac{2π}{3}$，故l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）联立直线与曲线消参得：3t²+16t-32=0，t₁+t₂=$\frac{16}{3}$，t₁t₂=-$\frac{32}{3}$，
由参数t的几何意义得
$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$=$\frac{1}{丨{t}_{1}丨}$+$\frac{1}{丨{t}_{2}丨}$=$\frac{丨{t}_{1}丨+丨{t}_{2}丨}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$-$\frac{丨{t}_{1}-{t}_{2}丨}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{丨{t}_{1}{t}_{2}丨}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴$\frac{1}{{|{MA}|}}+\frac{1}{{|{MB}|}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

点评 本题考查直线的参数方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及参数的几何意义，考查计算能力，属于中档题．