Question

20．若函数f（x）的定义域为R，满足对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），则称f（x）为“V形函数”．若函数g（x）定义域为R，恒大于0，且对任意x₁，x₂∈R，恒有lg[f（x₁+x₂）]＜lg[f（x₁）]+lg[f（x₂）]，则称g（x）为“对数V形函数”．
（1）当f（x）=x²时，判断f（x）是否是“V形函数”并说明理由；
（2）当时g（x）=5^x+2判断g（x）是否是“对数V形函数”，并说明理由；
（3）若函数f（x）是“V形函数”，且满足对任意x∈R都有f（x）≥2，问f（x）是否是“对数V形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）取x₁=x₂=1即可验证f（x）=x²不符合“V形函数”定义；
（2）比较g（x₁）+g（x₂）与g（x₁）g（x₂）的大小关系，根据对数的运算性质和对数的单调性即可得出结论；
（3）判断f（x₁）+f（x₂）与f（x₁）f（x₂）的大小关系，结合定义得出结论．

解答 解：（1）令x₁=x₂=1，则f（x₁+x₂）=f（2）=4，f（x₁）=f（x₂）=1，
∴f（x₁+x₂）＞f（x₁）+f（x₂），不符合“V形函数”定义．
∴f（x）=x²不是“V形函数”．
（2）lg（g（x₁+x₂））=lg（5${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2）=lg（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2），
lg[g（x₁）]+lg[g（x₂）]=lg（5${\;}^{{x}_{1}}$+2）+lg（5${\;}^{{x}_{2}}$+2）=lg[（5${\;}^{{x}_{1}}$+2）（5${\;}^{{x}_{2}}$+2）]=lg（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2（5${\;}^{{x}_{1}}$+5${\;}^{{x}_{2}}$）+4），
∵5${\;}^{{x}_{1}}$＞0，5${\;}^{{x}_{2}}$＞0，
∴5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2（5${\;}^{{x}_{1}}$+5${\;}^{{x}_{2}}$）+4＞5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2，
∴lg（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2）＜lg（5${\;}^{{x}_{1}}$•5${\;}^{{x}_{2}}$+2（5${\;}^{{x}_{1}}$+5${\;}^{{x}_{2}}$）+4），
即lg（g（x₁+x₂））＜lg[g（x₁）]+lg[g（x₂）]，
∴g（x）=5^x+2是“对数V形函数”．
（3）若f（x）是“V形函数”，且f（x）＞2，则对任意x₁，x₂∈R，有f（x₁+x₂）≤f（x₁）+f（x₂），
∴lg[f（x₁+x₂）]≤lg[f（x₁）+f（x₂）]，
∵f（x）＞2，∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁）f（x₂），
∴lg[f（x₁）+f（x₂）]＜lg[f（x₁）f（x₂）]=lg[（f（x₁）]+lg[f（x₂）]，
∴lg[f（x₁+x₂）]＜lg[f（x₁）]+lg[f（x₂）]，
∴g（x）为“对数V形函数”．

点评 本题考查了对新定义的理解与应用，对数的运算性质，属于中档题．