Question

已知函数f（x）=2x-lnx-m，g（x）=mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y=0，求实数m的值；
（Ⅱ）若直线y=-1与函数f（x）=2x-lnx-m的图象无公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f'（1），再求出f（1），代入直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）求出原函数的定义域，利用导数求其最小值，由其最小值大于-1 求得m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x-lnx-m，
∴f′(x)=2-

1

x

，∴f'（1）=1．
∵f（1）=2-m，
故函数f（x）在点（1，f（1））的切线方程为y-（2-m）=x-1，即x-y+1-m=0．
又已知切线方程为x-y=0，
∴1-m=0，解得m=1；
（Ⅱ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．
令f'（x）＞0，得x＞

1

2

，故函数f（x）在(

1

2

，+∞)上单调递增；
令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

2

；故函数f（x）在(0，

1

2

)上单调递减，
故函数f（x）在x=

1

2

处取得最小值．即f(x)min=f(

1

2

)=1+ln2-m．
故函数f（x）的取值范围是[1+ln2-m，+∞）．
若直线y=-1与函数f（x）=2x-lnx-m的图象无公共点，
则1+ln2-m＞-1，解得m＜2+ln2．
故实数m的取值范围是（-∞，2+ln2）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．