Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f（a+1）+f（a²）≤0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用赋值法即可求f（0）；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
（3）根据函数的单调性，将不等式进行转化，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0．
（2）定义域[-1，1]关于原点对称，
取y=-x，
则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴0=f（-x）+f（x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）∵f（a+1）+f（a²）≤0，
∴f（a+1）≤-f（a²），
∵f（x）为奇函数．
∴f（a+1）≤f（-a²），
∵f（x）是定义在[-1，1]上的减函数，
∴

a+1≥-a2 -1≤a+1≤1 -1≤a2≤1

，
解得-1≤a≤0．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．