Question

设函数y=

1+2x+a•4x

，若函数在（-∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：使用换元令t=2^x，将函数转化为一元二次函数y=1+t+at²进行求解．

解答： 解：设t=2^x，因为x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
则原函数有意义等价于1+t+at²≥0，所以a≥-

1+t

t2

．
设f（t）=-

1+t

t2

，则f（t）=-

1+t

t2

=-（

1

t

+

1

2

）²+

1

4

，
因为0＜t≤2，所以

1

t

∈[

1

2

，+∞），所以f（t）≤f（

1

2

）=-

3

4

，
所以a≥-

3

4

．
故答案为：[-

3

4

，+∞）．

点评：本题考查了与指数函数有关的复合函数的最值问题，通过换元，将函数转化为一元二次函数，是解决本题的关键，对应不等式恒成立问题通常是转化为含参问题恒成立，即求函数的最值问题．