Question

设函数f（x）=a-

2

( 1 2 )x+b

是R上的奇函数，且f（-1）=

1

3

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）试判断f（x）在R上的单调性，并予以证明．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数定义，f（-x）=f（x），
（2）利用指数函数的性质列出不等式，求解．
（3）用单调性定义证明判断．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=a-

2

( 1 2 )x+b

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，f（-1）=

1

3

，a-

2

b+2

=0，a-

2

b+2

=

1

3

，解得：a=1，b=1
即：f(x)=1-

2

( 1 2 )x+1

，
（2）y=1-

2

1 2x +1

，解得：

1

2x

=

1+y

1-y

＞0，解得-1＜y＜1，
故值域为：（-1，1），
（3）f（x）在R上单调递减，
证明：设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

1 2x1 - 1 2x2

(1+ 1 2x1 )(1+ 1 2x2 )

，
∵x₁＜x₂∴

1

2x1

+1＞0，

1

2x2

+1＞0，

1

2x1

-

1

2x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
f（x）在R上单调递减，

点评：本题考查综合考查了函数的定义，性质的综合运用，属于基础题．