Question

已知过点A（0，b），且斜率为1的直线l与圆O：x²+y²=16交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当△MON的面积最大时，求实数b的值；
（Ⅲ）设关于x的一元二次方程x²+2ax-b²+16=0，若a、b是从区间[-4，4]上任取的两　个数，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）直线l与圆O：x²+y²=16交于不同的两点M、N，圆心到直线l的距离d=

|b|

2

＜4，可得实数b的取值范围；
（Ⅱ）S_△MON=

1

2

×2

16-d2

×d，利用基本不等式，确定△MON的面积最大，即可求实数b的值；
（Ⅲ）试验的全部结果构成的区域为：{（a，b）|-4≤a≤4，-4≤b≤4}，是边长为8的正方形满足题意的区域为：{（a，b）|a²+b²≥16，-4≤a≤4，-4≤b≤4}，分别求解区域的面积，可求方程有实根的概率．

解答： 解：（Ⅰ）设直线l：x-y+b=0，
∵直线l与圆O：x²+y²=16交于不同的两点M、N，
∴圆心到直线l的距离d=

|b|

2

＜4，
∴-4

2

＜b＜4

2

；
（Ⅱ）∵|MN|=2

16-d2

，
∴S_△MON=

1

2

×2

16-d2

×d≤

16-d2+d2

2

=8，
当且仅当16-d²=d²，即d=2

2

时，△MON的面积最大，此时b=±4；
（ III）试验的全部结果所构成的区域为：{（a，b）|-4≤a≤4，-4≤b≤4}，是边长为8的正方形；
记事件C为“一元二次方程x²+2ax-b²+16=0有实根”，
因为方程x²+2ax-b²+16=0有实根，
即△=（2a）²-4（-b²+16）=4a²+4b²-64≥0
即a²+b²≥16，
故构成事件A的区域为：{（a，b）|a²+b²≥16，-4≤a≤4，-4≤b≤4}，
即图中的阴影部分
这是一个几何概型，所以
P（C）=

S阴影

S正方形

=

82-π•42

82

=1-

π

4

；    
即一元二次方程x²+2ax-b²+16=0有实根的概率为1-

π

4

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查概率知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．