Question

设数列{a_n}的前n项积为T_n，T_n=1-a_n，
（1）证明{

1

Tn

}是等差数列；
（2）求数列{

an

Tn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的定义，由题意可得

1

Tn+1

-

1

Tn

=

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1

1- 1 2-an

-

1

1-an

=1，即可得出证明；
（2）由（1）可得

an

Tn

=

1-Tn

Tn

=

1

Tn

-1=n，利用等差数列求和公式即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意得T_n=1-a_n，①
T_n+1=1-a_n+1，②
∴由②÷①得a_n+1=

1-an+1

1-an

，∴a_n+1=

1

2-an

，
∴

1

Tn+1

-

1

Tn

=

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1

1- 1 2-an

-

1

1-an

=1，
又由T₁=1-a₁得a₁=

1

2

，∴

1

T1

=2，
∴{

1

Tn

}是首项为2，公差为1的等差数列；
（2）由（1）得

1

Tn

=2+（n-1）=n+1，a_n=1-T_n，
∴

an

Tn

=

1-Tn

Tn

=

1

Tn

-1=n，
∴s_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

．

点评：本题主要考查等差数列的定义、性质及前n项和公式的应用，属于基础题．