Question

3．已知函数f（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）零点的个数；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性
（Ⅲ）设函数g（x）=$\frac{2e}{x}$，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（Ⅰ）a=2时，f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-2lnx，原函数定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$＞0恒成立⇒函数f（x）在（0，+∞）单调递增．且f（1）=0，函数f（x）零点的个数为1．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，设g（x）=ax²-2x+a（x∈（0，+∞））分类讨论，从而求得参数的范围，
（Ⅲ）原命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，设F（x）=f（x）-g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，只需[F（x）]＞0即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=2x-$\frac{2}{x}$-2lnx，原函数定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-2x+2}{{x}^{2}}$＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增．
且f（1）=0，函数f（x）零点的个数为1．
（Ⅱ）原函数定义域为（0，+∞），∴f′（x）=$\frac{a{x}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$
∵a＞0，设g（x）=ax²-2x+a（x∈（0，+∞））
由题意知△=4-4a²≤0，∴a≥1．
即a≥1时，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调增函数，
0＜a＜1，时，函数f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}$），（$\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$，+∞）内为单调增函数，在（$\frac{1-\sqrt{1-a}}{a}，\frac{1+\sqrt{1-a}}{a}$）递减．
（Ⅲ）原命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e）上有解，
设F（x）=f（x）-g（x）=ax-$\frac{a}{x}$-2lnx-$\frac{2e}{x}$，∵F′（x）=$\frac{a{x}^{2}+a+2（e-x）}{{x}^{2}}$＞0，
∴F（x）是增函数，…（10分）
∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得a$＞\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
∴a的取值范围是（$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，+∞）

点评 本题考查了导数求函数的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，属于难题．