Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，直线l：4x-5y+40=0．椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

Answer 1

分析 设出平行线方程，利用直线与椭圆相切，求出切线方程，然后求解平行线距离即可．

解答 解：设直线m：4x-5y+λ=0平行于直线l
由方程组：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\\ 4x-5y+λ=0\end{array}\right.$
消去y得：25x²+8kx+k²-225=0
由△=0可得：64k²-4×25（k²-225）=0
解得：k₁=25或k₂=-25
取k=25时距离最近，$d=\frac{|40-25|}{{\sqrt{{4^2}+{5^2}}}}=\frac{15}{41}\sqrt{41}$．

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系的应用，考查椭圆与直线相切，函数与方程的思想的应用，是中档题．