Question

15．设函数f（x）=2^x，函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称．
（1）若f（x）=4g（x）+3，求x的值；
（2）若存在x∈[0，4]，使不等式f（a+x）-g（-2x）≥3成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意知2^x=4•2^-x+3，整理得：2^2x-3•2^x-4=0，解之即可求得x的值；
（2）由f（a+x）-g（-2x）≥3得2^a+x-2^2x≥3，移项可得2^a+x≥2^2x+3⇒2^a≥2^x+3•2^-x，利用基本不等式可得2^x+3•2^-x≥2$\sqrt{3}$，当且仅当2^x=3•2^-x，即x=log₄3时取等号，继而可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=4g（x）+3得2^x=4•2^-x+3．…2分
整理得：2^2x-3•2^x-4=0，
所以2^x=4或2^x=-1（舍）．…4分
所以x=2．…6分
（2）由f（a+x）-g（-2x）≥3得2^a+x-2^2x≥3…8分
即2^a+x≥2^2x+3⇒2^a≥2^x+3•2^-x…10分
而2^x+3•2^-x≥2$\sqrt{3}$，当且仅当2^x=3•2^-x，即x=log₄3∈[0，4]时取等号，…12分
所以2^a≥2$\sqrt{3}$，所以a≥1+$\frac{1}{2}$log₂3．…14分

点评 本题考查函数恒成立问题，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查基本不等式的应用，属于中档题．