Question

3．已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f （x+y）=f（x）+f （y）+0.5，且f （0.5）=0，当x＞0.5时，f（x）＞0，给出以下结论：
①f （0）=-0.5；
②f （-1）=-1.5；   
③f（x）为R上的减函数；   
④f（x）+0.5为奇函数；
⑤f（x）+1为偶函数．
其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 ①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）；
②，取x=0.5，y=-0.5，可得f（-0.5），取x=y=-0.5代入可得f（-1）；
③，由①②知f（0）＞f（-1），f（x）不为R上的减函数，；
④，令y=-x代入可得f（x）+0.5+f（-x）+0.5=0；
⑤，f（0.5）+1≠f（-0.5）+1，可得f（x）+1不为偶函数；

解答 解：对于①，由题意和x，y的任意性，取x=y=0代入可得f（0）=f（0）+f（0）+0.5，f（0）=-0.5故①正确；
对于②，取x=0.5，y=-0.5，可得f（0）=f（0.5）+f（-0.5）+0.5⇒f（-0.5）=-1，取x=y=-0.5代入可得f（-1）=f（-0.5）+f（-0.5）+0.5=-1.5，故②正确；
对于③，由①②知f（0）＞f（-1），∴f（x）不为R上的减函数，故③错；
对于④，令y=-x代入可得f（0）=f（x）+f（-x）+0.5⇒f（x）+0.5+f（-x）+0.5=0，即 f（x）+0.5为奇函数，故④正确；
对于⑤，f（0.5）+1=1，f（-0.5）+1=0，∴f（x）+1=f（-x）+1不恒成立，f（x）+1不为偶函数，故⑤错；
故答案为：①②④

点评 本题考查命题真假的判断，赋值法、函数的性质是解题关键，属中档题．