Question

13．已知函数f（x）的定义域为R，且x³f（x）+x³f（-x）=0，若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x²f'（x）＜2，则不等式x³f（x）-8f（2）＜x²-4的解集为（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-4，4）
• D． （-∞，-4）∪（4，+∞）

Answer 1

分析 构造函数h（x）=x³f（x）-2x，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．

解答 解：令h（x）=x³f（x）-2x，
则h′（x）=x[3xf（x）+x²f'（x）-2]，
若对任意x∈[0，+∞）都有3xf（x）+x²f'（x）＜2，
则h′（x）≤0在[0，+∞）恒成立，
故h（x）在[0，+∞）递减，
若x³f（x）+x³f（-x）=0，
则h（x）=h（-x），
则h（x）在R是偶函数，h（x）在（-∞，0）递增，
不等式x³f（x）-8f（2）＜x²-4，
即不等式x³f（x）-x²＜8f（2）-4，
即h（x）＜h（2），
故|x|＞2，解得：x＞2或x＜-2，
故不等式的解集是（-∞，-2）∪（2，+∞），
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查转化思想，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．