题目内容

已知数列（0，2）满足首项为a1=2，an+1=2an，k（2e2）=15-2e2＞0．设bn=3log2an-2k（2e2）=15-2e2＞0，数列{cn}满足．cn=anbn
（Ⅰ）求证：数列{bn}成等差数列；
（Ⅱ）求数列{cn}的前n项和Sn．
考点：数列的求和,等差关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）由已知得an=a1qn-1=2n，bn=3log22n-2，bn=3n-2，由此能证明{bn}为首项为1，公差为3的等差数列．
（Ⅱ）由cn=anbn=（3n-2）•2n，利用错位相减法能求出数列{cn}的前n项和Sn．
解答： （Ⅰ）证明：由已知得an=a1qn-1=2n，
bn=3log22n-2，
∴bn=3n-2，
∵bn+1-bn=3，b1=3-2=1，
∴{bn}为首项为1，公差为3的等差数列．
（Ⅱ）解：cn=anbn=（3n-2）•2n，
Sn=1•2+4•22+7•23+…+（3n-2）•2n，①
2Sn=1•22+4•23+7•24+…+（3n-5）•2n+（3n-2）•2n+1，②
①-②，得：
-Sn=2+3（22+23+…+2n）-（3n-2）•2n-1
=3+3•
4(1-2n-1)
1-2
-（3n-2）•2n+1
=-10+（5-3n）•2n+1，
∴Sn=10-（5-3n）•2n+1．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=logax（a＞0且a≠1），若f（x1x2…x2009）=8，则f（x
 
2
1
）+f（x
 
2
2
）+…+f（x
 
2
2009
）的值等于（　　）
A、4
B、8
C、16
D、2loga8
设x1=x2=1，x3=2，xn=（n-1）（xn-1-xn-2）（n≥4），求通项{xn}．
已知函数f（x）=x+
x2+2
，证明：函数f（x）在R上单调递增．
已知函数f（x）=
ex
a
+
a
ex
（a＞0，a∈R）是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）设x∈[t，t+1]，用含t的表达式表示函数f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t），求g（t）的表达式．
已知等差数列{an}且a8=16，a1+a2+a3=12，若从数列{an}中依次取出第二项、第四项、第六项、第八项…第2n项，按照原来顺序组成一个新的数列{bn}，试求出{bn}的通项公式．
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（1）求证：A⊆B；
（2）若A=B=∅，求a的取值范围．
已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有
OA1
=
1
2
（
OA
+
OB
），
OB1
=
1
2
（
OB
+
OC
），
OC1
=
1
2
（
OC
+
OA
），由A1，B1，C1三点构成一个新的△A1B1C1，面积记为S1；
OA2
=
1
2
（
OA1
+
OB1
），
OB2
=
1
2
（
OB1
+
OC1
），
OC2
=
1
2
（
OC1
+
OA1
），再由A2，B2，C2三点构成一个新的△A2B2C2，面积记为S2；
OA3
=
1
2
（
OA2
+
OB2
），
OB3
=
1
2
（
OB2
+
OC2
），
OC3
=
1
2
（
OC2
+
OA2
），再由A3，B3，C3三点构成一个新的△A3B3C3，面积记为S3．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△AnBnCn，面积记为Sn．
（1）求证：数列{Sn}为等比数列；
（2）令Tn=-Snlog4
Sn
3
，求S=T1+T2+T3+…+Tn的和值．
已知函数f（x）=sin[ωπ（x+
1
3
）]的部分图象如图，其中P为函数图象的最高点，PC⊥x轴，且tan∠APC=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的取值范围．

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