题目内容
已知函数f（x）=
+
（a＞0，a∈R）是R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）设x∈[t，t+1]，用含t的表达式表示函数f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t），求g（t）的表达式．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
（1）求a的值；
（2）证明函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
（3）设x∈[t，t+1]，用含t的表达式表示函数f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t），求g（t）的表达式．
考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质
专题：分类讨论,函数的性质及应用
分析：（1）利用f（-x）=f（x）恒成立，可求出a的值；
（2）先求出原函数的导数，判断当x＞0时，导函数的符号即可；
（3）根据（1），（2）的结果先确定原函数的单调性，再讨论原函数在[t，t+1]上的单调性，从而求出最小值g（t）．
（2）先求出原函数的导数，判断当x＞0时，导函数的符号即可；
（3）根据（1），（2）的结果先确定原函数的单调性，再讨论原函数在[t，t+1]上的单调性，从而求出最小值g（t）．
解答：
解：（1）由题意f（x）=
+
，（a＞0）且f（-x）=f（x）恒成立，
∴
+
=
+
恒成立，化简得
+aex=
+
恒成立，∴a=
，解得a=1或-1（舍），
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=ex+
，f′(x)=ex-
，
∵当x≥0，ex≥1，0＜
≤1，
∴f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（3）由（1）（2）可知，原函数在（-∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增，且ymin=f（0）=2，
对于区间[t，t+1]，
当t≤-1时，t+1≤0，原函数在[t，t+1]上递减，所以ymin=f（t+1）=et+1+
，
当-1＜t≤0时，t＜0≤t+1，原函数在[t，0]上递减，在[0，t+1]上递增，所以ymin=f（0）=2，
当t＞0时，原函数在[t，t+1]上递增，所以ymin=f（t）=et+
，
综上g（t）=
．
| ex |
| a |
| a |
| ex |
∴
| e-x |
| a |
| a |
| e-x |
| ex |
| a |
| a |
| ex |
| 1 |
| aex |
| ex |
| a |
| a |
| ex |
| 1 |
| a |
∴a=1．
（2）由（1）知f（x）=ex+
| 1 |
| ex |
| 1 |
| ex |
∵当x≥0，ex≥1，0＜
| 1 |
| ex |
∴f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
（3）由（1）（2）可知，原函数在（-∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增，且ymin=f（0）=2，
对于区间[t，t+1]，
当t≤-1时，t+1≤0，原函数在[t，t+1]上递减，所以ymin=f（t+1）=et+1+
| 1 |
| et+1 |
当-1＜t≤0时，t＜0≤t+1，原函数在[t，0]上递减，在[0，t+1]上递增，所以ymin=f（0）=2，
当t＞0时，原函数在[t，t+1]上递增，所以ymin=f（t）=et+
| 1 |
| et |
综上g（t）=
|
点评：本题重点考查了函数奇偶性的定义、单调性的判断方法以及两者之间的关系，第三问类似于二次函数在指定区间上最值得求法，要注意按区间端点与增减区间的分界点0的关系进行讨论，讨论要做到不重不漏．
练习册系列答案
相关题目
sin
的值为（ ）
| 7π |
| 6 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、-
| ||||
D、-
|