Question

已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有

OA1

=

1

2

（

OA

+

OB

），

OB1

=

1

2

（

OB

+

OC

），

OC1

=

1

2

（

OC

+

OA

），由A₁，B₁，C₁三点构成一个新的△A₁B₁C₁，面积记为S₁；

OA2

=

1

2

（

OA1

+

OB1

），

OB2

=

1

2

（

OB1

+

OC1

），

OC2

=

1

2

（

OC1

+

OA1

），再由A₂，B₂，C₂三点构成一个新的△A₂B₂C₂，面积记为S₂；

OA3

=

1

2

（

OA2

+

OB2

），

OB3

=

1

2

（

OB2

+

OC2

），

OC3

=

1

2

（

OC2

+

OA2

），再由A₃，B₃，C₃三点构成一个新的△A₃B₃C₃，面积记为S₃．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△A_nB_nC_n，面积记为S_n．
（1）求证：数列{S_n}为等比数列；
（2）令T_n=-S_nlog₄

Sn

3

，求S=T₁+T₂+T₃+…+T_n的和值．

Answer 1

考点：数列的应用,数列与向量的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）分析可知，面积是下一个三角形面积的4倍，从而证明是等比数列，（2）化简T_n，用错位相减法求和．

解答： 解：（1）证明：由

OA1

=

1

2

（

OA

+

OB

）知，A₁是边AB的中点，
同理，B₁，C₁分别是边BC、CA的中点，
则△A₁B₁C₁的面积是△ABC的面积的

1

4

，
同理，△A_nB_nC_n的面积是△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的

1

4

，
即S_n=

1

4

S_n-1；且S₁=

1

4

×

1

2

×2×

3

=

3

4

；
∴数列{S_n}是以

3

4

为首项，

1

4

为公比的等比数列．
（2）由（1）知，S_n=

3

4

×（

1

4

）^n-1=

3

（

1

4

）ⁿ；
T_n=-S_nlog₄

Sn

3

=-=

3

（

1

4

）ⁿlog₄

3 ( 1 4 )n

3

=

3

n(

1

4

)n；
S=T₁+T₂+T₃+…+T_n=

3

（

1

4

+2×

1

42

+3×

1

43

+…+n×

1

4n

）①，
4S=

3

（1+2×

1

4

+3×

1

42

+4×

1

43

+…+n×

1

4n-1

）②，
②-①得，
3S=

3

（1+

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n-1

-n×

1

4n

），

3

S=

1(1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n

，
S=

4 3

9

-

3

9•4n-1

-

3 n

3•4n

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的综合应用，化简比较困难，属于难题．