Question

已知关于x的方程2x²-bx+

1

4

=0的两根为sinθ、cosθ，θ∈（

π

4

，

3π

4

）．
（1）求实数b的值；
（2）求

sinθ

1-cosθ

+

1+cosθ

sinθ

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据题意，利用韦达定理列出关系式，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简求出b的值即可；
（2）由b的值，利用完全平方公式求出sinθ与cosθ的值，原式通分并利用同角三角函数间的基本关系化简，将sinθ与cosθ的值代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）∵方程2x²-bx+

1

4

=0的两根为sinθ、cosθ，
∴sinθ+cosθ=

b

2

，sinθcosθ=

1

8

＞0，
∵θ∈（

π

4

，

3π

4

），
∴θ+

π

4

∈（

π

2

，π），即sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）＞0，
∴（sinθ+cosθ）²=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+2×

1

8

=

b2

4

，
解得：b=

5

（负值舍去），
则b=

5

；
（2）∵（sinθ-cosθ）²=sin²θ+cos²θ-2sinθcosθ=1-2×

1

8

=

3

4

，
∴sinθ-cosθ=

3

2

，
∵sinθ+cosθ=

5

2

，
∴sinθ=

3 + 5

4

，cosθ=

5 - 3

4

，
则原式=

sin2θ+(1+cosθ)(1-cosθ)

sinθ(1-cosθ)

=

2sin2θ

sinθ(1-cosθ)

=

2sinθ

1-cosθ

=

3 + 5 2

1- 5 - 3 4

=

2 3 +2 5

4- 5 + 3

．

点评：此题考查了同角三角函数间基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．