题目内容
已知A（-1，0），B（1，4），在平面上动点Q满足
•
=4，P是Q关于直线y=2（x-4）的对称点，求动点P的轨迹方程．
| QA |
| QB |
考点：轨迹方程
专题：综合题,直线与圆
分析：设Q（x，y），利用
•
=4，根据数量积公式，可得x2+（y-2）2=9，由Q与P关于直线L：y=2x-8对称可知，P的轨迹也是半径等于3的圆，求出圆心的坐标，即可得出结论．
| QA |
| QB |
解答：
解：设Q（x，y），则
∵
•
=4，A（-1，0），B（1，4），
∴（x+1，y）•（x-1，y-4）=x2-1+y2-4y=4
整理得x2+（y-2）2=9 ①
这是圆心在（0，2），半径等于3的圆
由Q与P关于直线L：y=2x-8对称可知，P的轨迹也是半径等于3的圆，
而其圆心（a，b）与圆①的圆心关于y=2（x-4）对称，
∴
，解得a=8，b=-2
故P的轨迹方程为 （x-8）2+（y+2）2=9．
∵
| QA |
| QB |
∴（x+1，y）•（x-1，y-4）=x2-1+y2-4y=4
整理得x2+（y-2）2=9 ①
这是圆心在（0，2），半径等于3的圆
由Q与P关于直线L：y=2x-8对称可知，P的轨迹也是半径等于3的圆，
而其圆心（a，b）与圆①的圆心关于y=2（x-4）对称，
∴
|
故P的轨迹方程为 （x-8）2+（y+2）2=9．
点评：本题考查向量的数量积公式，考查轨迹方程，考查对称点的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．
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