Question

11．某公司有A、B、C、D、E五辆汽车，其中A、B两辆汽车的车牌尾号均为1，C、D两辆汽车的车牌尾号均为2，E车的车牌尾号为6．已知在非限行日，每辆车可能出车或不出车，A、B、E三辆汽车每天出车的概率均为$\frac{2}{3}$，C、D两辆汽车每天出车的概率均为$\frac{1}{2}$，五辆汽车是否出车相互独立，该公司所在地区汽车限行规定如下：

工作日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五
限行车牌尾号	0和5	1和6	2和7	3和8	4和9

例如，星期一禁止车牌尾号为0和5的车辆通行．
（1）求该公司在星期一至少有2辆汽车出车的概率；
（2）设X表示该公司在星期二和星期三两天出车的车辆数之和，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）记事件A“该公司在星期一至少有2辆车出车”，利用独立重复试验的概率乘法公式，求解即可；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5，求出对应的概率，写出分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）记事件A“该公司在星期一至少有2辆车出车”，
则P（A）=1-${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$-${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$-${C}_{2}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$
=1-$\frac{1}{72}$-$\frac{3}{72}$-$\frac{4}{72}$
=$\frac{8}{9}$；
（2）根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，5；
则P（X=0）=${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{72}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{7}{72}$，
P（X=2）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{19}{72}$，
P（X=3）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${（\frac{1}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{25}{72}$，
P（X=4）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{16}{72}$，
P（X=5）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{4}{72}$；
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{72}$	$\frac{7}{72}$	$\frac{19}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{16}{72}$	$\frac{4}{72}$

数学期望为E（X）=0×$\frac{1}{72}$+1×$\frac{7}{72}$+2×$\frac{19}{72}$+3×$\frac{25}{72}$+4×$\frac{16}{72}$+5×$\frac{4}{72}$=$\frac{17}{6}$．

点评 本题考查了独立重复试验的概率求法问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．