Question

2．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C_l中，M，N分别为CC₁，A₁B₁的中点．CA⊥CB₁，CA=CB₁，BA=BC=BB₁．
（Ⅰ）求证：直线MN∥平面CAB₁；
（Ⅱ）求证：直线BA₁⊥平面CAB₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A₁B与AB₁交于点O，连接CO，ON．只需证明四边形CMNO是平行四边形，即可得MN∥CO．直线NM∥平面CAB₁
（Ⅱ）只需证明CO⊥AB₁，BA₁⊥CO．即可证得直线BA₁⊥平面CAB₁

解答 证明：（Ⅰ）设A₁B与AB₁交于点O，连接CO，ON．
因为四边形ABB₁A₁是平行四边形，所以是O是AB₁的中点，又N是A₁B₁的中点，
所以．ON$∥A{A}_{1}，ON=\frac{1}{2}A{A}_{1}$
又因为M是CC₁的中点，所以$CM∥A{A}_{1}，CM=\frac{1}{2}A{A}_{1}$．
所以四边形CMNO是平行四边形，所以MN∥CO．
又因为MN?平面CAB₁，CO?CAB₁平面，
所以直线NM∥平面CAB₁．…（6分）
（Ⅱ）因为BA=BB₁，所以平行四边形ABB₁A₁是菱形，所以BA₁⊥AB₁．
因为CA=CB₁，O是AB₁的中点，所以CO⊥AB₁，
又CA⊥CB₁，∴CO=AO．
又因为BA=BC，所以△BOC≌△BOA，
所以∠BOC=∠BOA，故BO⊥CO，即BA₁⊥CO．
又AB₁∩CO=O，AB₁?平面CAB₁，CO?平面CAB₁，
所以直线BA₁⊥平面CAB₁．…（12分）

点评 本题考查了空间线面平行，线面垂直的判定，属于中档题．