Question

15．如图，已知矩形BB₁C₁C所在平面与底面ABB₁N垂直，在直角梯形ABB₁N中，AN∥BB₁，AB⊥AN，CB=BA=AN=$\frac{1}{2}$BB₁．
（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求二面角C-C₁N-B的大小．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面ABB₁N，建立空间坐标系，利用向量证明BN⊥NB₁，NB⊥B₁C₁，故而得出结论；
（2）求出两平面的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．

解答 （1）证明：∵四边形BB₁C₁C是矩形，∴BC⊥BB₁，
∵平面BB₁C₁C⊥底面ABB₁N，平面BB₁C₁C∩底面ABB₁N=BB₁，BC?平面BB₁C₁C，
∴BC⊥平面ABB₁N，
以B为原点，以BA，BB₁，BC为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz，
设AB=1，则B（0，0，0），N（1，1，0），B₁（0，2，0），C₁（0，2，1），C（0，0，1）
∴$\overrightarrow{BN}$=（1，1，0），$\overrightarrow{N{B}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{N{B}_{1}}$=-1+1=0，$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，又NB₁∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．
（2）解：$\overrightarrow{N{C}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{NC}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，2，0），
设平面BNC₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BN}=0$，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{N{C}_{1}}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2），
同理可得平面CNC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴二面角C-C₁N-B的大小为30°．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用，空间角的计算，属于中档题．