已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1的左.右顶点分别为A1.A2.上.下顶点分别为B2.B1.四边形A1B1A2B2的面积为4$\sqrt{3}$.且该四边形内切圆的方程为x2+y2=$\frac{12}{7}$．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M.N两个不同的点(M.N异于A1.A2).若以MN为直径的圆� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁、A₂，上、下顶点分别为B₂、B₁，四边形A₁B₁A₂B₂的面积为4$\sqrt{3}$，且该四边形内切圆的方程为x²+y²=$\frac{12}{7}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+m（k，m均为常数）与椭圆C相交于M，N两个不同的点（M，N异于A₁，A₂），若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A₂，试判断直线l能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，也请说明理由．

分析（Ⅰ）利用四边形A₁B₁A₂B₂的面积为$4\sqrt{3}$，推出$ab=2\sqrt{3}$，利用四边形A₁B₁A₂B₂内切圆方程，圆心（0，0）到直线A₂B₂的距离为$\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$，求出a，b，然后求解椭圆方程．
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$，利用判别式以及韦达定理，通过$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}N}=0$，求出km关系式，然后求解直线方程为$y=k（x-\frac{2}{7}）$，得到恒过定点$（\frac{2}{7}，0）$．

解答（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵四边形A₁B₁A₂B₂的面积为$4\sqrt{3}$，且可知四边形A₁B₁A₂B₂为菱形，
∴$\frac{1}{2}×2a•2b=4\sqrt{3}$，即$ab=2\sqrt{3}$①…（2分）
由题意可得直线A₂B₂方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵四边形A₁B₁A₂B₂内切圆方程为${x^2}+{y^2}=\frac{12}{7}$，
∴圆心（0，0）到直线A₂B₂的距离为$\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$，即$\frac{|-ab|}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$②…（4分）
由①②：a=2，$b=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（6分）
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$得：（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
∵直线l与椭圆C相交于M，N两个不同的点，
∴△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0得：3+4k²-m²＞0③
由韦达定理：${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$…（8分），
∵以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A₂，∴A₂M⊥A₂N，$\overrightarrow{{A_2}M}•\overrightarrow{{A_2}N}=0$
由于A₂（2，0），所以（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
⇒（x₁-2）（x₂-2）+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
$⇒（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+（mk-2）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+4=0$
从而$（{k^2}+1）×\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}+（mk-2）（-\frac{8mk}{{3+4{k^2}}}）+{m^2}+4=0$
即7m²+16mk+4k²=0∴m=-2k，或$m=-\frac{2}{7}k$适合③…（11分）
当m=-2k时，直线l：y=kx-2k，即y=k（x-2），
所以恒过定点（2，0），
∵（2，0）为椭圆的右顶点，与题意不符，舍去；
当$m=-\frac{2}{7}k$时，直线l：$y=kx-\frac{2}{7}k$，即$y=k（x-\frac{2}{7}）$，
所以恒过定点$（\frac{2}{7}，0）$．
综上可知：直线l过定点，该定点为$（\frac{2}{7}，0）$．…（13分）

点评本题考查直线与椭圆的位置关系，直线系方程的应用，考查转化思想以及设而不求的解题方法，是难题．

练习册系列答案

相关题目

9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A．

$\frac{π}{6}+\frac{1}{3}$

B．

$\frac{π}{12}+1$

C．

$\frac{π}{12}+\frac{1}{3}$

D．

$\frac{π}{4}+\frac{1}{3}$

10．

已知椭圆C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下焦点分别为F₁，F₂，上焦点F₁到直线 4x+3y+12=0的距离为3，椭圆C的离心率e=$\frac{1}{2}$．
（I）若P是椭圆C上任意一点，求|${\overrightarrow{P{F_1}}}$||${\overrightarrow{P{F_2}}}$|的取值范围；
（II）设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆交于点B（B不在y轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{{F_1}H}$=0，且|${\overrightarrow{MO}}$|=|${\overrightarrow{MA}}$|，求直线l的方程．

7．下列命题中正确的是（　　）

	A．	命题“?x₀∈R，sinx₀＞1”的否定是“?x∈R，sinx＞1”
	B．	“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”
	C．	在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充分不必要条件
	D．	若p∧（￢q）为假，p∨（￢q）为真，则p，q同真或同假