Question

已知定义在R上的函数f（x）=|x-1|+|x+2|的最小值为a．
（1）求a的值；
（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求

1

m

+

2

n

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,带绝对值的函数

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和可知a=3；
（2）

1

m

+

2

n

=

m+n

3m

+

2m+2n

3n

=1+

n

3m

+

2m

3n

≥1+2

2 3 • 1 3

=1+

2

3

2

．利用基本不等式．

解答： 解：（1）由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和，
如图：
则x在[-2，1]上时，函数f（x）=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3．
即a=3．
（2）由题意，m+n=3，
则

1

m

+

2

n

=

m+n

3m

+

2m+2n

3n

=

1

3

+

n

3m

+

2m

3n

+

2

3

=1+

n

3m

+

2m

3n

≥1+2

2 3 • 1 3

=1+

2

3

2

．
（当且仅当

n

3m

=

2m

3n

时，等号成立）．
即

1

m

+

2

n

的最小值为1+

2

3

2

．

点评：本题考查了绝对值函数的最值与基本不等式的应用，属于基础题．