Question

若直线kx-y-2=0与曲线

1-(y-1)2

=|x|-1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：将曲线

1-(y-1)2

=|x|-1化简，可得它表示圆心分别为C₁（1，1）、C₂（-1，1），半径等于1的两个半圆；而kx-y-2=0表示经过定点A（0，-2）、斜率为k的直线．因此当直线与曲线有两个不同的交点时，直线与左边的半圆有两个交点，或与右边的半圆有两个交点．由此对图形加以观察，利用点到直线的距离公式和直线的斜率公式建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．

解答： 解：①当x≥0时，曲线

1-(y-1)2

=|x|-1即

1-(y-1)2

=x-1，
两边平方，整理得（x-1）²+（y-1）²=1，（x≥1）
表示以C₁（1，1）为圆心，半径r₁=1的圆的右半圆；
②当x＜0时，曲线

1-(y-1)2

=|x|-1即

1-(y-1)2

=-x-1，
两边平方，整理得（x+1）²+（y-1）²=1，（x≤-1）
表示以C₂（-1，1）为圆心，半径r₂=1的圆的左半圆．
直线kx-y-2=0即y=kx-2，表示经过定点A（0，-2）、斜率为k的直线．
因此，直线kx-y-2=0与曲线

1-(y-1)2

=|x|-1有两个不同的交点，
就是直线kx-y-2=0与两个半圆组成的图形有两个交点，
①当直线kx-y-2=0与右半圆C₁有两个交点时，记点B（1，0），
可得直线到圆心的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于AB的斜率，
∴

|k-2|

k2+1

＜1且k≤kAB=

-2-0

0-1

=2，解之得

4

3

＜k≤2；
②当直线kx-y-2=0与左半圆C₂有两个交点时，类似于①的方程解得-2≤k＜-

4

3

．
综上所述，实数k的取值范围是

4

3

＜k≤2或-2≤k＜-

4

3

，即k∈[-2，-

4

3

）∪（

4

3

，2]．
故答案为：[-2，-

4

3

）∪（

4

3

，2]

点评：本题给出直线与曲线有两个交点，求参数k的取值范围．着重考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、直线的斜率公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．