Question

18．在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线的变化情况来决定买入或卖出股票．股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xOy，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近似地用解析式y=asin（ωx+φ）+b（0＜φ＜π）来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线l：x=34对称．老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F．现在老张决定取点A（0，22），点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数a，b，ω，φ，并且求得ω=$\frac{π}{72}$
（1）请你帮老张算出a，b，φ，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）
（2）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票3000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？

Answer 1

分析 （1）根据C，D关于直线l对称写出C点坐标，再把A、B、C的坐标代入解析式，得到关于a，b，φ的方程组，解此方程组即得：a=6，b=19，φ=$\frac{5π}{6}$，．于是可写出ABC段的解析式，由对称性得，也可得到DEF段的解析式，最后由解析式得出何时y值最大，从而得到当x=92时，股价见顶．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故可计算出这次操作老王能赚多少元．

解答 解：（1）点C、D关于直线L对称，
∴C点坐标为（2×34-44，16）即（24，16），
把A、B和C的坐标代入解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{22=asinφ+b}\\{19=asin（\frac{π}{6}+φ）+b}\\{16=asin（\frac{π}{3}+φ）+b}\end{array}\right.$    ①
∴a[sin（$\frac{π}{6}$+φ）-sinφ]=-3，a[sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ]=-6
∴2sin（$\frac{π}{6}$+φ）-2sinφ=sin（$\frac{π}{3}$+φ）-sinφ，
∴cosφ+$\sqrt{3}$sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosφ+$\frac{3}{2}$sinφ，
∴（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）cosφ=（$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$）sinφ=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1）sinφ，
∴tanφ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
0＜φ＜π，
∴φ=π-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
代入①求得b=19，a=6，
∴a=6，b=19，φ=$\frac{5π}{6}$，
于是ABC段的解析式为y=6sin（$\frac{π}{72}$x+$\frac{5π}{6}$）+19，由对称=6性得
DEF段的解析式为y=6sin[$\frac{π}{72}$（68-x）+$\frac{5π}{6}$]+19，
∴$\frac{π}{72}$（68-x_F）+$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{2}$，\，解得x_F=92，
∴当x=92时，股价见顶．
（2）由（1）可知，y_F=6+19=25，故这次操作老张能赚3000×（25-16）=27000（元）

点评 本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，体现了数学在实际生活中的应用，解答关键是数形结合法的应用，属于中档题．