Question

3．已知函数f（x）=2sinx•cosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=7，若锐角A满足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，求bc的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式利用二倍角正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函数的单调性确定出f（x）的单调递减区间即可；
（2）由f（x）解析式，以及f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，求出A的度数，将sinB+sinC=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，利用正弦定理化简，求出bc的值即可．

解答 解：（1）f（x）=2sinx•cosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期T=π，
∵2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
∴f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z；
（2）由f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=2sin[2（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sinA=$\sqrt{3}$，即sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，∴A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，sinB+sinC=$\frac{b+c}{2R}$=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$，
∴b+c=$\frac{13\sqrt{3}}{14}$×$\frac{14}{\sqrt{3}}$=13，
由余弦定理可知：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
整理得：bc=40．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．