题目内容
6．（1）已知（2-$\sqrt{3}$x）50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，求 （a0+a2+a4+…+a50）2-（a1+a3+a5+…+a49）2的值；（2）已知（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，求n．
分析 （1）分别令x=1，x=-1，代入已知的等式，化简变形可得（a0+a2+a4+…+a50）2-（a1+a3+a5+…+a49）2的值．
（2）由条件利用（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展开式的通项公式，可得$C_n^8+C_n^{10}=2C_n^9$，计算求得n的值．
解答 解：（1）令x=1，得${（2-\sqrt{3}）^{50}}={a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_{50}}；①$，
令x=-1，得${（2+\sqrt{3}）^{50}}={a_0}-{a_1}+{a_2}-…+{a_{50}}；②$，
把①②相乘得（a0+a1+a2+a3+a4+…+a50）=（a0-a1+a2 -a3+a4+…-a49+a50）
=（a0+a2+a4+…+a50）2-（a1+a3+a5+…+a49）2 =150=1．
（2）由于（1+$\sqrt{x}{）^n}$的展开式的通项公式为 ${T_{r+1}}=C_n^r{x^{\frac{r}{2}}}$，由题知$C_n^8+C_n^{10}=2C_n^9$，
即 $\frac{n!}{8!（n-8）!}$+$\frac{n!}{10!（n-10）!}$=2•$\frac{n!}{9!（n-9）!}$，化简可的n2-37n+322=0，求得n=14，或 n=23．
点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案；还考查了二项展开式的通项公式，属于中档题．
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