Question

8．若不等式x²+2ax+1≥0对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}}$]成立，则a的最小值是-$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 不等式x²+2ax+1≥0对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，转化为a≥-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$对于一切x∈（0，$\frac{1}{2}$]恒成立，求出-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$的最大值即可．

解答 解：当x∈（0，$\frac{1}{2}}$]时，
不等式x²+2ax+1≥0可化为a≥-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
设f（x）=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，x∈（0，$\frac{1}{2}}$]，
且函数f（x）在x∈（0，$\frac{1}{2}}$]上是单调增函数，
最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×\frac{1}{2}}$=-$\frac{5}{4}$，
∴a的最小值是-$\frac{5}{4}$．
故答案为：$-\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题，也考查了函数的单调性运用问题，是综合性题目．