Question

已知函数f（x）=sinωx，g（x）=sin（2x+

π

2

），有下列命题：
①当ω=2时，函数y=f（x）g（x）是最小正周期为

π

2

的偶函数；
②当ω=1时，f（x）+g（x）的最大值为

9

8

；
③当ω=2时，将函数f（x）的图象向左平移

π

2

可以得到函数g（x）的图象．
其中正确命题的序号是

 

（把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及图象性质判断所给的各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：∵①当ω=2时，函数y=f（x）g（x）=sin2x•sin（2x+

π

2

）=sin2x•cos2x=

1

2

sin4x，
故函数的周期T=

2π

4

=

π

2

，且为奇函数，故①不正确．
②当ω=1时，f（x）+g（x）=sinx+sin（2x+

π

2

）=sinx+cos2x=sinx+1-2sin²x=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

，
故当sinx=

1

4

时，函数取得最大值为

9

8

，故②正确．
③当ω=2时，将函数f（x）的图象向左平移

π

2

可以得到函数y=sin2（x+

π

2

）=-sin2x的图象，
不能得到函数g（x）的图象，故③不正确，
故答案为：②．

点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．