Question

已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0
（1）求满足不等式f（x）＜0的实数x的取值范围；
（2）设函数g（θ）=sin²θ+m•cosθ-2m，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合 N={m|f[g（θ）]＜0}，求M∩N．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,交集及其运算,函数单调性的性质

专题：综合法,函数的性质及应用

分析：根据奇偶性，判断出f （x） 在 （-∞，0）上也是增函数，列出不等式，求解即可．
（2）利用换元的思想转化不等式，再求解集合解集，得出所求集合的解集，最后分类求解集合的综合问题．

解答： 解：依题意，f （-1）=-f （1）=0，又f （x） 在 （0，+∞） 上是增函数，
∴f （x） 在 （-∞，0）上也是增函数，
∴由 f （x）＜0得x＜-1或0＜x＜1
∴N={m|f[g（θ）]＜0}={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
M∩N={m|g（θ）＜-1}
由g（θ）＜-1得 sin²θ+m cos θ-2m＜-1⇒cos²θ-m cos θ+2m-2＞0 恒成立
⇒（cos²θ-m cos θ+2m-2）_min＞0
设t=cosθ，h（t）=cos²θ-m cos θ+2m-2=t²-mt+2m-2
=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，∵cosθ∈[-1，1]⇒t∈[-1，1]，h（t） 的对称轴为 t=

m

2

1° 当 

m

2

＞1，即 m＞2 时，h（t） 在[-1，1]为减函数
∴h（t）_min=h（1）=m-1＞0⇒m＞1⇒m＞2）
2° 当-1≤

m

2

≤1，即-2≤m≤2 时，
∴h（t）_min=h（ 

m

2

）=-

m2

4

+2m-2＞0⇒4-2

2

＜m＜4+2

2

⇒4-2

2

＜m≤2
3° 当 

m

2

＜-1，即 m＜-2 时，h（t） 在[-1，1]为增函数
∴h（t）_min=h（-1）=3m-1＞0⇒m＞

1

3

无解
综上，m＞4-2

2

⇒M∩N={m|m＞4-2

2

另解：依题意，f （-1）=-f （1）=0，又f （x） 在 （0，+∞） 上是增函数，
∴f （x） 在 （-∞，0）上也是增函数，
∴由 f （x）＜0得x＜-1或0＜x＜1，
∴N={m|f[g（θ）]＜0}={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
由g（θ）＜-1得 sin²θ+m cos θ-2m＜-1⇒cos²θ-m cos θ+2m-2＞0 恒成立
⇒（cos²θ-m cos θ+2m-2）_min＞0M∩N={m|g（θ）＜-1}由g（θ）＜-1得 sin²θ+m cos θ-2m＜-1⇒cos²θ-m cos θ+2m-2＞0 恒成立
⇒（cos²θ-m cos θ+2m-2）_min＞0
设t=cosθ，h（t）=cos²θ-m cos θ+2m-2=t²-mt+2m-2
=（t-

m

2

）²-

m2

4

+2m-2，∵cosθ∈[-1，1]⇒t∈[-1，1]，h（t） 的对称轴为 t=

m

2

∵cosθ∈[]
综上所得，m＞4-2

2

⇒M∩N={m|m＞4-2

2

}

点评：考查了函数的奇偶性，单调性，结合不等式解决问题，综合考察解决问题的能力．