Question

已知函数f（x）=4x³-3x²cosθ+

3

16

cosθ其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤2π．
（1）当cosθ=0时，判断函数f（x）是否有极值；
（2）要使函数f（x）的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f（x）在区间（2a-1，a）（其中a＜1）内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）当cosθ=0时，求出f（x），求出导数，即可判断单调性和极值；
（2）求出导数，求出单调区间，判断极小值，解大于0的不等式，即可得到；
（3）由（2）知f（x）在区间(-∞，0]与[

cosθ

2

，+∞)内都是增函数，由区间的包含关系得到a的不等式，解出即可．

解答： 解：（1）当cosθ=0时，f（x）=4x³，f′（x）=12x²≥0，则f（x）在（-∞，+∞）内是增函数，故无极值．
（2）f′（x）=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得x1=0，x2=

cosθ

2

．
当cosθ＞0时容易判断f（x）在(-∞，0]，[

cosθ

2

，+∞)上是增函数，在[0，

cosθ

2

]上是减函数，
故f（x）在x=

cosθ

2

处取得极小值f(

cosθ

2

)=-

1

4

cos3θ+

3

16

cosθ．
由f(

cosθ

2

)＞0，即-

1

4

cos3θ+

3

16

cosθ＞0，可得0＜cosθ＜

3

2

，由于0≤θ≤2π，
故

π

6

＜θ＜

π

2

或

3π

2

＜θ＜

11π

6

．
同理，可知当cosθ＜0时，f（x）在x=0处取极小值f（0）=

3

16

cosθ＞0，即cosθ＞0，与cosθ＜0矛盾，
所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零．
综上，要使函数f（x）在R上的极小值大于零，参数θ的取值范围为(

π

6

，

π

2

)∪(

3π

2

，

11π

6

)
（3）由（2）知函数f（x）在区间(-∞，0]与[

cosθ

2

，+∞)内都是增函数，由题设：
函数在（2a-1，a）内是增函数，则a需满足不等式a≤0或2a-1≥

cosθ

2

（其中θ∈(

π

6

，

π

2

)∪(

3π

2

，

11π

6

)时，0＜cosθ＜

3

2

）从而可以解得a≤0或

4+ 3

8

≤a＜1，即a的取值范围是(-∞，0]∪[

4+ 3

8

，1)．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查三角不等式的运算求解能力，属于中档题．