Question

已知函数f（x）=λx（1-x）（λ＞0，x∈[0，1]），若1，sinα，f（sin

α

2

）²成等比数列．
（1）求λ的值；
（2）试探求函数g（x）=f（cos

x

2

）²的性质．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列与函数的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的性质，建立方程，可求λ的值；
（2）化简函数，利用余弦函数的性质，可得结论．

解答： 解：（1）∵1，sinα，f（sin

α

2

）²成等比数列，
∴sin²α=f（sin

α

2

）²，
∴sin²α=λ（sin

α

2

）²[1-（sin

α

2

）²]，
∴λ=4；
（2）g（x）=f（cos

x

2

）²=4（cos

x

2

）²[1-（cos

x

2

）²]=sin²x=

1-cos2x

2

，
定义域为R，值域为[0，1]，函数为偶函数，
函数在[kπ，kπ+

π

2

]上单调递增，
在[kπ+

π

2

，kπ+π]上单调递减．

点评：本题考查等比数列的性质、余弦函数的性质，考查学生的计算能力，正确运用等比数列的性质是关键．