Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）+g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数的定义

x+1＞0 1-x＞0

，从而可解得f（x）+g（x）的定义域；
（2）令F（x）=f（x）+g（x）=log_a[（x+1）（1-x）]，定义域为（-1，1），根据已知求得F（x）=F（-x）即可证明F（x）=f（x）+g（x）在（-1，1）上是偶函数．

解答： （1）由函数的定义

x+1＞0 1-x＞0

，解得

x＞-1 x＜1

∴函数的定义域为（-1，1）…（4分）
（2）令F（x）=f（x）+g（x）
=log_a（x+1）+log_a（1-x）
=log_a[（x+1）（1-x）]，定义域为（-1，1）
F（-x）=log_a[（-x+1）（1-（-x））]
=log_a[（x+1）（1-x）]=F（x）
∵F（x）=F（-x）
∴F（x）=f（x）+g（x）在（-1，1）上是偶函数                           …（12分）

点评：本题主要考察了对数函数的图象与性质，考察了函数的奇偶性的证明，属于基础题．