Question

已知：函数f（x）=

ax

1+ax

-

1

2

（a＞0且a≠1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性．
（2）记号[m]表示不超过实数m的最大整数（如：[0.3]=0，[-0.3]=-1），求函数[f（x）]+[f（-x）]的值域．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）+f（-x）=

ax

1+ax

-

1

2

+

a-x

1+a-x

-

1

2

=

ax

1+ax

-

1

2

+

1

ax+1

-

1

2

=0，f（x）=-f（-x），可得f（x）是奇函数，
（2）分类：当-

1

2

＜f（x）＜0时，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=-1+0=-1；
当0＜f(x)＜

1

2

时，时，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0-1=-1；
当f（x）=0时，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0+0=0；求解即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=

ax

1+ax

-

1

2

（a＞0且a≠1）定义域为R，关于原点左右对称．
函数f（-x）=

a-x

1+a-x

-

1

2

（a＞0且a≠1，
∴f（x）+f（-x）=

ax

1+ax

-

1

2

+

a-x

1+a-x

-

1

2

=

ax

1+ax

-

1

2

+

1

ax+1

-

1

2

=0，
∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函数
（2）∵a^x＞0，∴＜

ax

1+ax

＜1，
∴-

1

2

＜f（x）
当-

1

2

＜f（x）＜0时，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=-1+0=-1，
当0＜f(x)＜

1

2

时，时，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0-1=-1，
当f（x）=0时，[f（x）]+[f（-x）]=[f（x）]-[f（x）]=0+0=0，
综上所述：[f（x）]+[f（-x）]的值域是{-1，0}．

点评：本题考查了函数的性质，不等式，整体求解问题，属于中档题．