Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，直线l与圆C相交于A，B两点．
（Ⅰ）若直线l过点M（4，0），且|AB|=2

5

，求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l的斜率为l，且以弦AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）由题设知直线l的斜率存在，用点斜式设出设其方程，由题意可得圆心到直线l的距离为2，再利用点到直线的距离公式求得k的值，可得直线的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+b，代入圆的方程，利用韦达定理求得x₁+x₂ 和x₁•x₂的值，根据

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，解得b的值，可得直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0．
圆C：即（x-1）²+（y+2）²=9，圆心C（1，-2），半径为3．
由|AB|=2

5

，知圆心到直线l的距离为

9-( 5 )2

=2，
于是

|k+2-4k|

k2+1

=2，整理得5k²-12k=0，解得，k=0或k=

12

5

．
所以直线l的方程为y=0 或12x-5y-48=0．
（Ⅱ）由直线l的斜率为l，设直线l的方程为y=x+b．
由

x2+y2-2x+4y-4=0 y=x+b

  得 2x²+2（b+1）x+b²+4b-4=0．
令△=4（b+1）²-8（b²+4b-4）＞0，解得-3-3

2

＜b＜-3+3

2

．
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则 x₁+x₂=-（b+1），x₁•x₂=

b2+4b-4

2

．
因为以AB为直径的圆过原点，所以

OA

⊥

OB

．
所以

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=2x₁•x₂+b（x₁+x₂）+b²=0，
化简可得 b²+3b-4=0，解得b=1或b=-4，
故直线l的方程为y=x+1或y=x-4．

点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量垂直的性质，属于基础题．