Question

2．在△ABC中，点E．F分别在边AB，AC上，且AE=2EB，AF=$\frac{1}{2}$FC，BF，CE交于点P，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{AP}$；
（2）求$\frac{CP}{PE}$的值；
（3）若S_△ABC=1，求S_△ABP．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，（1）利用B、P、F三点共线，E、P、C 三点共线，求出用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出向量$\overrightarrow{AP}$；
（2）设$\overrightarrow{EP}$=n$\overrightarrow{EC}$，利用向量$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$求出n的值，即得$\frac{CP}{PE}$的值；
（3）利用$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{PE}{CE}$求出△ABP的面积．

解答 解：△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，
且AE=2EB，AF=$\frac{1}{2}$FC，BF，CE交于点P，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，如图所示；
（1）∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$；
由题意知：B、P、F三点共线，
∴$\overrightarrow{AP}$=s$\overrightarrow{AB}$+（1-s）$\overrightarrow{AF}$=s$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（1-s）$\overrightarrow{AC}$；
由E、P、C 三点共线，
∴$\overrightarrow{AP}$=t$\overrightarrow{AE}$+（1-t）$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$t$\overrightarrow{AB}$+（1-t）$\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{s=\frac{2}{3}t}\\{\frac{1}{3}（1-s）=1-t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{s=\frac{4}{7}}\\{t=\frac{6}{7}}\end{array}\right.$；
∴向量$\overrightarrow{AP}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{4}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{b}$；
（2）设$\overrightarrow{EP}$=n$\overrightarrow{EC}$，n∈R；
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$=$\overrightarrow{AE}$+n$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{AE}$+n（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AE}$）=（1-n）$\overrightarrow{AE}$+n$\overrightarrow{AC}$=$\frac{6}{7}$$\overrightarrow{AE}$+$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{AC}$，
∴n=$\frac{1}{7}$，
∴$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{EC}$；
∴$\frac{CP}{PE}$=6；
（3）∴S_△ABC=1，
且$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB{•h}_{1}}{\frac{1}{2}•AB•h}$=$\frac{{h}_{1}}{h}$=$\frac{PE}{CE}$=$\frac{1}{7}$，
S_△ABP=$\frac{1}{7}$S_△ABC=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了平面向量基本定理及其几何意义，也考查了平面向量的线性表示与应用问题，是综合性题目．