Question

11．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{x}{2}$-$\frac{3π}{2}$）+$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$+x）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[0，$\frac{3π}{4}$]时，求f（x）的最大值和最小值及相应的x的值；
（3）若α为第二象限角，且f（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，求$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式及两角和的余弦公式将f（x）化简，代入周期公式；
（2）求出x+$\frac{π}{3}$的范围，结合余弦函数的性质得出最值及对应的x的值；
（3）根据α的范围和f（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$解出cosα，sinα，代入二倍角公式得出sin2α，cos2α．

解答 解：（1）f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$-$\sqrt{3}$sinx=1+cosx-$\sqrt{3}$sinx=1+2cos（x+$\frac{π}{3}$）．
∴函数f（x）的最小正周期T=2π．
（2）∵x∈[0，$\frac{3π}{4}$]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{13π}{12}$]，∴当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$，即x=0时，f（x）取得最大值2，
当x+$\frac{π}{3}$=π，即x=$\frac{2π}{3}$时，f（x）取得最小值-1．
（3）∵f（α-$\frac{π}{3}$）=1+2cosα=$\frac{1}{3}$，∴cosα=-$\frac{1}{3}$．∵α为第二象限角，∴sinα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴cos2α=1-2sin²α=-$\frac{7}{9}$，sin2α=2sinαcosα=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$=$\frac{-\frac{7}{9}}{1-\frac{7}{9}+\frac{4\sqrt{2}}{9}}$=$\frac{1}{2}-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数化简求值，是中档题．