Question

12．若（1-3x）⁷展开式的第4项为280，则$\lim_{n→∞}（{x+{x^2}+…+{x^n}}）$=$-\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前n项和求极限．

解答 解：∵（1-3x）⁷展开式的第4项为280，
∴T₄=${C}_{7}^{3}$•（-3x）³=-27×35x³=280；
∴x³=-$\frac{8}{27}$，
解得x=-$\frac{2}{3}$；
∴$\lim_{n→∞}（{x+{x^2}+…+{x^n}}）$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x（1{-x}^{n}）}{1-x}$
=$\frac{x}{1-x}$
=$\frac{-\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}$
=-$\frac{2}{5}$．
故答案为：-$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目．