Question

已知函数f(x)=sin(2x+

π

6

)+

3

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦函数的周期公式与单调性质即可求得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的最小正周期和单调递增区间；
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x∈[-

π

3

，

2π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]⇒sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，从而可求得f（x）的最值．

解答： 解：（1）f（x）的最小周期T=

2π

2

=π，
由题意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-1，

5

2

]，
∴f（x）_max=

5

2

，f（x）_min=-1．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的周期性、单调性与最值，属于中档题．