Question

已知向量

a

=(1，2)，

b

=(cosα，sinα)，设

c

=

a

-t

b

（t为实数）．
（Ⅰ）t=1时，若

c

∥

b

，求tanα；
（Ⅱ）若α=

π

4

，求|

c

|的最小值，并求出此时向量

a

在

c

方向上的投影．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：（I）利用向量共线定理即可得出；
（II）利用数量积的性质可得|

c

|，再利用二次函数的单调性即可得出其最小值，进而得出投影．

解答： 解：（I）∵t=1，∴

c

=(1-cosα，2-sinα)，
∵

c

∥

b

，
∴cosα（2-sinα）-sinα（1-cosα）=0，
化为2cosα=sinα，
可得tanα=2；
（II）α=

π

4

时，|

c

|=

(1- 2 2 t)2+(2- 2 2 t)2

=

t2-3 2 t+5

，
当t=

3 2

2

时，|

c

|min=

2

2

，
此时

c

=(-

1

2

，

1

2

)，

a

在

c

方向上的投影

a • c

| c |

=

2

2

．

点评：本题考查了向量共线定理、数量积的性质、二次函数的单调性、投影等基础知识，属于基础题．