Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，O为底面中心，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB．M是PD的中点
（1）求证：直线MO∥平面PAB；
（2）求证：平面PCD⊥平面ABM．
（3）求直线PB与平面ABM所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）分别取线段AB、PA的中点E、F，证明MO∥FE，即可证明直线MO∥平面PAB；
（2）证明平面PCD⊥平面ANM，只需证明AM⊥平面PCD，只需证明CD⊥平面PAD；
（3）证明PM⊥平面ABM，可得∠PBM为直线PB与平面ABM所成角，从而可求直线PB与平面ABM所成角的正弦值．

解答： （1）证明：分别取线段AB、PA的中点E、F，则FM∥AD，EO∥AD，所以FM∥EO，
又|FM|=

1

2

|AD|=|EO|，所以四边形FMOE为平行四边形，
所以MO∥FE，
又FE?平面PAB，MO?平面PAB，
所以直线MO∥平面PAB（5分）
（2）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AM，
又AM⊥PD，CD∩PD=D，
所以AM⊥平面PCD，
又AM?平面ABM，
所以平面PCD⊥平面ABM；                 （10分）
（3）解：由（2）知，PM⊥AM，PM⊥AB，
因为AM∩AB=A，
所以PM⊥平面ABM，
所以∠PBM为直线PB与平面ABM所成角．
令|AB|=1，则|PM|=

2

，|PB|=

5

，
所以sin∠PBM=

2

5

=

10

5

（15分）

点评：本题考查线面平行、线面垂直，考查面面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，正确运用线面平行、面面垂直的判定定理是关键．