Question

定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=-x²+2x．函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[

1

b

，

1

a

]，其中a、b≠0．在x∈[a，b]时f（x）=g（x）．
（1）求f（x）解析式；
（2）求a、b的值；
（3）是否存在实数m，使{（x，y）|y=g（x），x∈[a，b]}∩{（x，y）|y=

1

4

x²+m}≠∅？若存在，求出m的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x＜0，则-x＞0．利用当x＞0时，f（x）=-x²+2x和奇函数的性质即可得出．
（2）函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[

1

b

，

1

a

]，这表明

a＜b 1 b ＜ 1 a

，可见a，b同号．
当a，b＞0时，考虑以下三种情况：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．利用二次函数的单调性即可得到．
（3）考察函数g（x）=

-x2+2x，(1≤x≤ 1+ 5 2 ) x2+2x，( -1- 5 2 ≤x≤-1)

，由题意可得方程组

y=g(x) y= 1 4 x2+m

有解，解出即可．

解答： 解：（1）设x＜0，则-x＞0．
∵当x＞0时，f（x）=-x²+2x，
∴f（-x）=-x²-2x．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=x²+2x．
又f（0）=0．
∴f（x）=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（2）函数y=g（x）的定义域为[a，b]，值域为[

1

b

，

1

a

]，这表明

a＜b 1 b ＜ 1 a

，可见a，b同号．
当a，b＞0时，考虑以下三种情况：0＜a＜b≤1，0＜a＜1＜b，1≤a＜b＜2．
当0＜a＜b≤1，则

1

a

＞1，当x∈（0，1]时，f（x）≤1，这与g（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]相矛盾；
当1≤a＜b＜2，g（x）是减函数，可见

1 b =g(b)=-b2+2b 1 a =g(a)=-a2+2a

，解得

a=1 b= 1+ 5 2

．
当a，b＜0时，在-2＜b＜a≤-1条件下可得：

b=- 1+ 5 2 a=-1

．
（3）考察函数g（x）=

-x2+2x，(1≤x≤ 1+ 5 2 ) x2+2x，( -1- 5 2 ≤x≤-1)

，
由题意方程组

y=g(x) y= 1 4 x2+m

有解，
∴2x-

5

4

x2=m在[1，

1+ 5

2

]内有实数根；或2x+

3

4

x2=m在[

-1- 5

2

，-1]内有实数根．
解得m∈[

-7+3 5

8

，

3

4

]∪[-

4

3

，-

5

4

]．

点评：本题考查了分段函数、二次函数的性质，考查了函数的奇偶性、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．