Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．PA=1，AD=2．
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角B-PC-A的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由PC⊥平面BDE，得到PC⊥BD，再由PA⊥平面ABCD得到PA⊥BD，然后由线面垂直的判断得答案；
（2）设AC与BD交于点O，连接OE，可得∠OEB就是二面角B-PC-A的平面角，然后利用△OEB∽△PAC及解直角三角形求得二面角B-PC-A的正切值．

解答： 解：（1）证明：如图，

∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
而PC∩PA=P，PC?平面PAC，PA?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC；
（2）设AC与BD交于点O，连接OE
∵PC⊥平面BDE，OE?平面BDE，BE?平面BDE，
∴PC⊥OE，PC⊥BE，
于是∠OEB就是二面角B-PC-A的平面角，
又∵BD⊥平面PAC，OE?平面PAC，
∴△OEB是直角三角形．
由△OEB∽△PAC，可得

OE

OC

=

PA

PC

，
而AB=AD=2，
∴AC=2

2

，OC=

2

，
而PA=1，
∴PC=3，
于是OE=

PA

PC

×OC=

1

3

×

2

=

2

3

，而OB=

2

，
于是二面角B-PC-A的正切值为

OB

OE

=3．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判断，考查了二面角的平面角的找法与求解，解答此题的关键在于找到二面角的平面角，是中档题．