Question

已知m，n为正整数，
（Ⅰ）证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知（1-

1

n+3

）ⁿ＜

1

2

，求证：

n

k=1

（1-

k

n+3

）ⁿ＜1-（

1

2

）ⁿ．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）用数学归纳法证明，
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，得(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，问题于是得以证明．

解答： 证明（Ⅰ）：用数学归纳法证明：
（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x²，右边=1+2x，
因为x²≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，则当m=k+1时，
∵x＞-1，
∴1+x＞0，
于是在不等式（1+x）^k≥1+kx两边同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．
即当m=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
于是(1-

m

n+3

)n≤(1-

1

n+3

)nm=[(1-

1

n+3

)n]m＜(

1

2

)m，m=1，2，…，n．
∴

n

k=1

(1-

k

n+3

)n＜

n

k=1

(

1

2

)k=1-(

1

2

)n．

点评：本题主要考查了数学归纳法，以及不等式的证明，属于基础题．