Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=kn（n+1）-n（k∈R），公差d为2．
（1）求a_n与k；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n-b_n-1=n•2 an（n≥2），求b_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据通项公式及和与项的关系，列出关于首项公差的方程组，解之即可；
（2）首先考虑利用迭代法去求b_n，在求bn的过程中，将问题转化成了一个求和问题，根据其特点（等差×等比）求和，所以采用错位相减法．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得a₁=s₁=2k-1，
a₂=s₂-s₁=4k-1，
由a₂-a₁=2得k=1，
则a₁=1，a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（Ⅱ）b_n=bn-1+n•2an=bn-2+(n-1)2an-1+n•2an=…
=b1+2×2a2+3×2a3+…+(n-1)•2an-1+n•2an
由（Ⅰ）知2an=22n-1，且b₁=2，所以
bn=1×21+2×23+3×25+…+（n-1）×2^2n-3+n×2^2n-1
4b_n=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+（n-1）×2^2n-1+n×2²ⁿ⁺¹，
上述两式相减得
-3b_n=2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1-n×2²ⁿ⁺¹=

2(1-4n)

1-4

-2n•4n
∴b_n=

2(1-4n)

9

+

2

3

n?4ⁿ=

2[(3n-1)•4n+1]

9

．
显然n=1时，上式也成立．
综上所述，b_n=

2[(3n-1)•4n+1]

9

．

点评：错位相减法是高考求和考查中的重点，关键在于弄清通项特点是否符合“错位相减法”适用条件，第二弄准错位相减后可求和化简部分的项数；最后勿忘记还原．