Question

已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线y²=4x的焦点F是椭圆M的一个焦点，以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线y=

2

4

（x+2）相切
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m与椭圆M交于A，B两点，且椭圆上的点P满足

OP

=

OA

+

OB

．证明：四边形OAPB的面积为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线y=

2

4

（x+2）相切，求出b，a，即可求椭圆M的方程；
（2）直线l：y=kx+m与椭圆M联立，求出|AB|，点O到直线的距离，即可证明四边形OAPB的面积为定值．

解答： 解：（1）抛物线y²=4x的焦点F（1，0），直线

2

x-4y+2

2

=0．
∵以F为圆心，以椭圆M的短半轴长为半径的圆与直线y=

2

4

（x+2）相切
∴b=

|-2 2 - 2 |

16+2

=1，
∴a=

2

，
∴椭圆M的方程为

x2

2

+y²=1；
（2）设A，B，P点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x，y），
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，
直线l：y=kx+m与椭圆M联立可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，y₁+y₂=

2m

1+2k2

，
代入椭圆方程可得4m²=1+2k²，
|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

2 2 • 2k2-m2+1

1+2k2

点O到直线的距离d=

|m|

1+k2

，
∴S=|AB|d=

1+k2

•

2 2 • 2k2-m2+1

1+2k2

•

|m|

1+k2

=

32m2-8m2 |m|

4m2

=

6

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用．